若函數(shù)f（x）=|sinx|（x≥0）的圖象與過原點的直線有且只有三個交點，交點中橫坐標的最大值為α，則
(1+α2)sin2αα
=
 
．
分析：先根據(jù)題意畫圖，然后令切點為A（α，-sinα），α∈（π，
3π
2
），在（π，
3π
2
）上，根據(jù)切線的斜率等于切點處的導數(shù)建立等式關系，即可求出α=tanα，代入所求化簡即可求出所求．
解答：解：函數(shù)f（x）=|sinx|（x≥0）與直線有且只有三個交點如圖所示，
令切點為A（α，-sinα），α∈（π，
3π
2
），在（π，
3π
2
）上，f'（x）=-cosx
∴-cosx=-
sinα
α
即α=tanα，
故
(1+α2)sin2α
α
=
(1+tan2α)sin2α
tanα
=
sin2α
sinαcosα
=2
故答案為：2
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及三角函數(shù)的運算，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有以下五個命題
①設a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0））處切線的傾斜角的取值范圍為[0，
π
4
]，則點P到曲線y=f（x）對稱軸距離的取值范圍為[0，
1
2a
]；
②一質(zhì)點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過t稱后的位移為s=
1
3
t3-
3
2
t2+2t，那么速度為零的時刻只有1秒末；
③若函數(shù)f（x）=loga（x3-ax）（a＞0，且a≠1）在區(qū)間(-
1
2
，0)內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是[
3
4
，1)；
④定義在R上的偶函數(shù)f（x），滿足f（x+1）=-f（x），則f（x）的圖象關于x=1對稱；
⑤函數(shù)y=f（x-2）和y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱．其中正確的有
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列四個命題：
①函數(shù)y=
1
x
的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）；
②函數(shù)y=x2-4x+6，當x∈[1，4]時，函數(shù)的值域為[3，6]；
③函數(shù)y=3（x-1）2的圖象可由y=3x2的圖象向右平移1個單位得到；
④若函數(shù)f（x）的定義域為[0，2]，則函數(shù)f（2x）的定義域為[0，1]；
⑤若A={s|s=x2+1}，B={y|x=
y-1
}，則A∩B=A．
其中正確命題的序號是
③④⑤
③④⑤
．（填上所有正確命題的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)：f(x)=
x-a+1
a-x
（a為常數(shù)）．
（1）當f（x）的定義域為[a+
1
2
，a+1]時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）試問：是否存在常數(shù)m使得f（x）+f（m-x）+2=0對定義域內(nèi)的所有x都成立；若有求出m，若沒有請說明理由．
（3）如果一個函數(shù)的定義域與值域相等，那么稱這個函數(shù)為“自對應函數(shù)”．若函數(shù)f（x）在[s，t]（a＜s＜t）上為“自對應函數(shù)”時，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+ax和g（x）=x-a．其中a∈R且a≠0．
（1）若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的一個公共點恰好在x軸上，求a的值；
（2）若函數(shù)f（x）與g（x）圖象相交于不同的兩點A、B，O為坐標原點，試問：△OAB的面積S有沒有最值？如果有，求出最值及所對應的a的值；如果沒有，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）在[0，1]上滿足：對于任意的s，t∈[0，1]，λ＞0，都有
f(s)+λf(t)
1+λ
＜f(
s+λt
1+λ
)，則稱f（x）在[0，1]上為凸函數(shù)．在三個函數(shù)f1（x）=x+1，f2（x）=ex-1，f3（x）=lg
x+1
中，在[0，1]上是凸函數(shù)的有
f3（x）=lg
x+1
f3（x）=lg
x+1
（寫出您認為正確的所有函數(shù)）．

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