Question

給定有限單調遞增數列{x_n}（n∈N^*，n≥2）且x_i≠0（1≤i≤n），定義集合A={（x_i，x_j）|1≤i，j≤n，且i，j∈N^*}．若對任意點A₁∈A，存在點A₂∈A使得OA₁⊥OA₂（O為坐標原點），則稱數列{x_n}具有性質P．
（I）判斷數列{x_n}：-2，2和數列{y_n}：-2，-l，1，3是否具有性質P，簡述理由．
（II）若數列{x_n}具有性質P，求證：
①數列{x_n}中一定存在兩項x_i，x_j使得x_i+x_j=0：
②若x₁=-1，x_n＞0且x_n＞1，則x₂=l．

Answer 1

（Ⅰ）數列{x_n}具有性質P，數列{y_n}不具有性質P．
對于數列{x_n}，若A₁（-2，2），則A₂（2，2）；若A₁（-2，-2），則A₂（2，-2），∴具有性質P；
對于數列{y_n}，當A₁（-2，3），若存在A₂（x，y）滿足OA₁⊥OA₂，即-2x+3y=0，

y

x

=

2

3

，數列{y_n}中不存在這樣的數x、y，
∴不具有性質P．
（II）證明：①取A₁（x_k，x_k），∵數列{x_n}具有性質P，∴存在點A₂（x_i，x_j）使得OA₁⊥OA₂，即x_kx_i+x_kx_j=0，
∵x_k≠0，∴x_i+x_j=0．
②由①知，數列{x_n}中一定存在兩項x_i，x_j，使得x_i+x_j=0．
又數列是單調遞增數列且x₂＞0，∴1為數列中的一項，
假設x₂≠1，則存在k（2＜k＜n，k∈N^*），有x_k=1，∴0＜x₂＜1，
 此時取A₁（x₂，x_n），數列{x_n}具有性質P，
∴存在點A₂（x_t，x_s）使得OA₁⊥OA₂，
∴x₂x_t+x_nx_s=0
所以x_t=-1時，x₂=x_nx_s＞x_s≥x₂，矛盾；x_s=-1時，x2=

xn

xt

≥1，矛盾，所以x₂=1．