Question

對于數列{a_n}，定義其平均數是Vn=

a1+a2+…an

n

，n∈N^*．
（Ⅰ）若數列{a_n}的平均數V_n=2n+1，求a_n；
（Ⅱ）若數列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數列，其平均數為V_n，Vn≥t-

1

n

對一切n∈N^*恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為Vn=

a1+a2+…an

n

，所以

a1+a2+…an

n

=2n+1．變形得 a1+a2+…+an=2n2+n，由此能求出a_n．
（Ⅱ）因為an=2n-1，其平均數Vn=

2n-1

n

．由Vn≥t-

1

n

對一切n∈N^*恒成立，即λ≤

2n

n

恒成立．令f(n)=

2n

n

，則

f(n+1)

f(n)

=

2n

n+1

=2-

2

n+1

，由此能求出實數t的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因為Vn=

a1+a2+…an

n

，
所以

a1+a2+…an

n

=2n+1．
變形得 a1+a2+…+an=2n2+n，①（2分）
當n≥2時有  a1+a2+…+an-1=2(n-1)2+(n-1)②
①-②得a_n=4n-1（n≥2）．（5分）
又當n=1時，V₁=a₁=2×1+1=3，
適合a_n=4n-1．（6分）
故a_n=4n-1（n∈N^*）．（7分）
（Ⅱ）因為an=2n-1，
其平均數Vn=

2n-1

n

．（9分）
由已知Vn≥t-

1

n

對一切n∈N^*恒成立，即λ≤

2n

n

恒成立．
令f(n)=

2n

n

，
則

f(n+1)

f(n)

=

2n

n+1

=2-

2

n+1

，
當n=1時，

f(n+1)

f(n)

=1，
當n＞1，n∈N^*時，

f(n+1)

f(n)

＞1，
所以f（n）≥f（1）=2，
因此實數t的取值范圍t≤2．（14分）

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和公式的應用．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．