Question

四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD．已知∠ABC=45°，AB=2，BC=，SA=SB=．
（1）證明：SA⊥BC；
（2）求直線SD與平面SAB所成角的大小；
（3）求二面角D-SA-B的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)條件中所給的兩兩垂直的三條直線建立坐標系，寫出要用的點的坐標，寫出，的坐標，根據(jù)求出兩個向量的數(shù)量積為0，得到兩個向量垂直．
（2）求線面角，寫出線對應(yīng)的向量，求出一條直線與平面垂直，這是平面的一個法向量，根據(jù)兩個向量的夾角做出線與平面所成的角的正弦．
（3）要求兩個平面的二面角，需要做出兩個平面的法向量，根據(jù)上一問知道為平面SAB的法向量，只要求出面SDB的一個法向量，利用兩個法向量的夾角的余弦值，得到兩個向量的夾角．
解答：解：（1）作SO⊥BC，垂足為O，連接AO，由側(cè)面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．
因為SA=SB，所以AO=BO．
又∠ABC=45°，△AOB為等腰直角三角形，AO⊥OB
如圖，以O(shè)為坐標原點，OA為x軸正向，建立直角坐標系O-xyz
，，，S（0，0，1），，，
，
所以SA⊥BC
（2）取AB中點E，，
連接SE，取SE中點G，連接OG，．
，，
．，，
OG與平面SAB內(nèi)兩條相交直線SE，AB垂直．
∴OG⊥平面SAB，與的夾角記為α，SD與平面SAB所成的角記為β，則α與β互余
，．
，
∴，
（3）由上知為平面SAB的法向量，
易得D（）
，
同理可求得平面SDA的一個法向量為
∴=
由題知所求二面角為鈍二面角，故二面角D-SA-B的大小為150°．
點評：本題考查利用空間向量解決立體幾何問題，解題的關(guān)鍵是建立坐標系，寫出要用的點的坐標，進而寫出向量的坐標，然后進行向量的有關(guān)運算．