已知函數(shù)f(x)=4x+1,g(x)=2x,x∈R,數(shù)列{an},{bn}滿足條件:a1=1,an+1=g(an)+1(n∈N*),bn=
1
[
1
2
f(n)+
1
2
][g(n)+3]

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn,并求使得Tn
m
150
對任意n∈N*都成立的最大正整數(shù)m;
(Ⅲ)求證:
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
n
2
(n∈
N*).
分析:(Ⅰ)先根據(jù)Ⅰ可求出a1的值且得到數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得到an+1=2×2n-1,進(jìn)而得到an=2n-1.
(Ⅱ)根據(jù)bn=
1
[
1
2
f(n)+
1
2
][g(n)+3]
,可得到bn=
1
(2n+1)(2n+3)
=
1
2
(
1
2n+1
-
1
2n+3
)
,進(jìn)而根據(jù)裂項(xiàng)法可得到Tn的值,再由
Tn+1
Tn
>1
可知Tn<Tn+1,故當(dāng)n=1時,Tn取得最小值
1
15
,要使得Tn
m
150
對任意n∈N*都成立只要T1=
1
15
m
150
即可,從而可求出m的值.
(Ⅲ)根據(jù)
ak
ak+1
=
2k-1
2k+1-1
=
2k-1
2(2k-
1
2
)
1
2
對任意n≥1恒成立,再由放縮法可得到
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
n
2
(n∈
N*),進(jìn)而可得證.
解答:解:(Ⅰ)由題意an+1=2an+1,
∴an+1+1=2(an+1).
∵a1=1,
∴數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.
∴an+1=2×2n-1,
∴an=2n-1.
(Ⅱ)∵bn=
1
(2n+1)(2n+3)
=
1
2
(
1
2n+1
-
1
2n+3
)

Tn=
1
2
(
1
3
-
1
5
+
1
5
-
1
7
++
1
2n+1
-
1
2n+3
)
=
1
2
(
1
3
-
1
2n+3
)=
n
3×(2n+3)
=
n
6n+9

Tn+1
Tn
=
n+1
6n+15
6n+9
n
=
6n2+15n+9
6n2+15n
>1
,
∴Tn<Tn+1,n∈N*
∴當(dāng)n=1時,Tn取得最小值
1
15

由題意得
1
15
m
150
,
∴m<10.
∵m∈Z,
∴m=9.
(Ⅲ)證明:∵
ak
ak+1
=
2k-1
2k+1-1
=
2k-1
2(2k-
1
2
)
1
2
,k=1,2,3,,n
,
a1
a2
+
a2
a3
++
an
an+1
n
2
點(diǎn)評:本題主要考查求數(shù)列通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)法求數(shù)列前n項(xiàng)和、用放縮法證明不等式的問題.考查基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用和計算能力.
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4+
1
x2
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1
an+1
)在曲線y=f(x)上(n∈N+),且a1=1,an>0.
( I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
( II)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn且滿足bn=an2an+12,求Tn

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