Question

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)上的兩點，已知向量

m

=（

x1

b

，

y1

a

），

n

=（

x2

b

，

y2

a

），若

m

•

n

=0且橢圓的離心率e=

3

2

，短軸長為2，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意可求得b，進而根據(jù)離心率求得a，則橢圓方程可得．
（2）先看當直線AB斜率不存在時，即x₁=x₂，y₁=y₂，根據(jù)

m

•

n

=0代入求得x₁²-

y 2 1

4

=0把點A代入橢圓方程，求得A點橫坐標和縱坐標的絕對值，進而求得△AOB的面積的值；當直線AB斜率存在時：設(shè)AB的方程為y=kx+b與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)偉大定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式代入

m

•

n

=0中整理可求得2b²-k²=4代入三角形面積公式中求得求得△AOB的面積的值為定值．最后綜合可得答案．

解答：解：（1）依題意知2b=2，∴b=1，e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

∴a=2，c=

a2-b2

=

3

∴橢圓的方程為

y2

4

+x2= 1
（2）①當直線AB斜率不存在時，即x₁=x₂，y₁=y₂，
∵

m

•

n

=0
∴x₁²-

y 2 1

4

=0
∴y₁²=4x₁²
又A（x₁，y₁）在橢圓上，所以x₁²+

4 x 2 1

4

=1
∴|x₁|=

2

2

，|y₁|=

2

s=

1

2

|x₁||y₁-y₂|=1
所以三角形的面積為定值．
②當直線AB斜率存在時：設(shè)AB的方程為y=kx+b

y=kx+b y2 4 +x2= 1

消去y得（k²+4）x²+2kbx+b²-4=0
∴x₁+x₂=

-2kb

k2+4

，x₁x₂=

b 2-4

k2+4

，△=（2kb）²-4（k²+4）（b²-4）＞0
而

m

•

n

=0，
∴x₁x₂+

y1y2

4

=0
即x₁x₂+

(kx1+b)(kx 2+b)

4

=0代入整理得
2b²-k²=4
S=

1

2

|b|

1+k2

|AB|=

|b| 4k2-4b2+16

2(k2+4)

=

4b2

2|b|

=1
綜上三角形的面積為定值1．

點評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．