Question

求下列函數(shù)的值域
①y=3x+2（-1≤x≤1）②f(x)=2+

4-x

③y=

x

x+1

④y=x+

1

x

．

Answer 1

分析：①利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可求得其值域；②先求函數(shù)的定義域，再利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域；③利用分離常數(shù)法將函數(shù)變形，再利用反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)求函數(shù)的值域；④利用均值定理求函數(shù)的值域，注意均值定理成立的條件

解答：解：（1）∵一次函數(shù)f（x）=3x+2在[-1，1]上為增函數(shù)，
∴f（-1）≤y≤f（1），即-1≤y≤5
∴函數(shù)y=3x+2（-1≤x≤1）的值域?yàn)閇-1，5]
（2）∵函數(shù)f(x)=2+

4-x

的定義域?yàn)椋?∞，4]
且此函數(shù)在定義域上為單調(diào)減函數(shù)，
∴f（x）≥f（4）=2
∴函數(shù)f(x)=2+

4-x

的值域?yàn)閇2，+∞）
（3）函數(shù)y=

x

x+1

=1-

1

x+1

由反比例函數(shù)的圖象知

1

x+1

≠0
∴y≠1
∴函數(shù)y=

x

x+1

的值域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞）
（4）x＞0時(shí)，y=x+

1

x

≥2

x× 1 x

=2
x＜0時(shí)，y=x+

1

x

=-（-x-

1

x

）≤-2

(-x)× 1 -x

=-2
∴函數(shù)y=x+

1

x

的值域?yàn)椋?∞，-2]∪[2，+∞）

點(diǎn)評：本題考察了求函數(shù)的值域的方法：單調(diào)性法、函數(shù)圖象法、分離常數(shù)法、均值定理法