已知向量
a
=(sin x,cos x),
b
=(sin x,sin x),
c
=(-1,0).
(1)若x=
π
3
,求向量
a
c
的夾角θ;
(2)若x∈[-
8
,
π
4
],求函數(shù)f(x)=
a
b
的最值;
(3)函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=
2
2
sin 2x (x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到?
分析:(1)若x=
π
3
,先求出
a
c
的坐標(biāo),設(shè)
a
c
的夾角為θ,利用兩個(gè)向量夾角公式求出cosθ的值,可得θ的值.
(2)利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的公式化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式為
1
2
+
2
2
sin(2x-
π
4
),再根據(jù)x的范圍求得2x-
π
4
 的范圍,可得函數(shù)的值域.
(3)根據(jù)函數(shù)y=Asin(ωx+∅)的圖象變換規(guī)律得出結(jié)論.
解答:解:(1)若x=
π
3
,則向量
a
=(
3
2
,
1
2
),
c
=(-1,0),設(shè)
a
c
的夾角為θ,
則有cosθ=
a
c
|
a
|•|
c
|
=
-
3
2
+0
1×1
=-
3
2
,故θ=
6

(2)函數(shù)f(x)=
a
b
=sin2x+sinxcosx=
1-cos2x
2
+
1
2
sin2x=
1
2
+
2
2
sin(2x-
π
4
).
若x∈[-
8
,
π
4
],則 2x-
π
4
∈[-π,
π
4
],
故當(dāng)2x-
π
4
=-
π
2
時(shí),函數(shù)取得最小值未為
1-
2
2
,當(dāng)2x-
π
4
=
π
4
時(shí),函數(shù)取得最大值為1,
故函數(shù)的值域?yàn)閇
1-
2
2
,1].
(3)把函數(shù)y=
2
2
sin 2x 的圖象向右平移
π
8
個(gè)單位,再向下平移
1
2
個(gè)單位,即可得到函數(shù)f(x)的圖象.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查兩個(gè)向量夾角公式的應(yīng)用,兩個(gè)向量的數(shù)量積的公式,正弦函數(shù)的定義域和值域,y=Asin(ωx+∅)的圖象變換規(guī)律,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(sinθ,-2),
b
=(cosθ,1)
(1)若
a
b
,求tanθ;
(2)當(dāng)θ∈[-
π
12
π
3
]時(shí),求f(θ)=
a
b
-2|
a
+
b
|2的最值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(sinθ,1),
b
=(1,-cosθ),θ∈(0,π)
(Ⅰ)若
a
b
,求θ;
(Ⅱ)若
a
b
=
1
5
,求tan(2θ+
π
4
)
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(sinθ,cosθ),
b
=(2,1),滿足
a
b
,其中θ∈(0,
π
2
)

(I)求tanθ值;
(Ⅱ)求
2
sin(θ+
π
4
)(sinθ+2cosθ)
cos2θ
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(sinθ,cosθ)與
b
=(
3
,1),其中θ∈(0,
π
2

(1)若
a
b
,求sinθ和cosθ的值;
(2)若f(θ)=(
a
b
)
2
,求f(θ)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(sinθ,
3
cosθ),
b
=(1,1).
(1)若
a
b
,求tanθ的值;
(2)若|
a
|=|
b
|,且0<θ<π,求角θ的大。

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