Question

已知圓O的半徑為定長r，A是圓所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線l與直線OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)P在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)Q的軌跡可能是下列圖形中的：

①③⑤⑦

．（填寫所有可能圖形的序號）
①點(diǎn)；②直線；③圓；④拋物線；⑤橢圓；⑥雙曲線；⑦雙曲線的一支．

Answer 1

分析：由題意可得，點(diǎn)A可能在圓的外部，可能在圓的內(nèi)部（但不和點(diǎn)O重合）、可能和點(diǎn)O重合、也可能在圓上，在這四種情況下，分別求出點(diǎn)Q的軌跡方程，即可得到答案．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)A為⊙O外一定點(diǎn)，P為⊙O上一動點(diǎn)，
線段AP的垂直平分線交直線OP于點(diǎn)Q，
則QA=QP，則QA-Q0=QP-QO=OP=r．
即動點(diǎn)Q到兩定點(diǎn)A、O的距離差為定值r＜OA，
根據(jù)雙曲線的定義，可得點(diǎn)Q的軌跡是：以O(shè)，A為焦點(diǎn)，r為實(shí)軸長的雙曲線的一支．
故⑦滿足條件．
（2）當(dāng)A為⊙O內(nèi)一定點(diǎn)，且A不與點(diǎn)O重合，∵P為⊙O上一動點(diǎn)，
線段AP的垂直平分線交直線OP于點(diǎn)Q，則QA=QP，
QA=QP=OP-OQ=r-OQ，∴QA+OQ=r＞OA，故Q的軌跡是：以O(shè)，A為焦點(diǎn)，r為長軸的橢圓，
故⑤滿足條件．
（3）當(dāng)點(diǎn)A和原點(diǎn)O重合時，線段AP的垂直平分線交直線OP于點(diǎn)Q，則QA=QP，
點(diǎn)Q是線段OP的中點(diǎn)，故有OQ=

1

2

OP=

r

2

，
故Q的軌跡是：以O(shè)為圓心，以

r

2

為半徑的圓，故③滿足條件．
（4）當(dāng)點(diǎn)A在圓上時，線段AP的垂直平分線交直線OP于點(diǎn)Q，則Q和點(diǎn)O重合，
故Q的軌跡是點(diǎn)O，為一個點(diǎn)，故①滿足條件．
故答案為①③⑤⑦．

點(diǎn)評：本題主要考查圓、橢圓、雙曲線的定義，軌跡方程的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．