Question

在△ABC中，a²-c²=2b，且4cosAsinC=sinB．
（1）求b；
（2）若S_△ABC=2

3

，求△ABC的周長．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,三角形的面積公式,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）通過正弦定理以及余弦定理化簡已知表達(dá)式，然后求出的b值．
（2）由已知及正弦定理可求cosA=

sinB

4sinC

=

1

c

，得sin²A=1-

1

c2

，由S_△ABC=

1

2

bcsinA=2

3

，可解得c=2，即可求得a，從而可求周長．

解答： 解：（1）在△ABC中，由sinB=4cosAsinC可得 sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC，
化簡可得sinAcosC=3cosAsinC，
∴由余弦定理可得：a•

a2+b2-c2

2ab

=3c•

b2+c2-a2

2bc

，即 2b²=4a²-4c²．
再由a²-c²=2b，可得 2b²=8b，
∴b=4，
（2）∵由（1）可得b=4，
∵4cosAsinC=sinB．
∴由正弦定理可得：cosA=

sinB

4sinC

=

b

4c

=

1

c

，可得sin²A=1-

1

c2

∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=2

3

，
∴兩邊平方可得：12=

1

4

b²c²sin²A，化簡可得：c²-1=3，可解得：c=2，
∴由a²-c²=2b，可得a=2

2

∴△ABC的周長=a+b+c=2

2

+2+4=6+2

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查誘導(dǎo)公式、正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，考查了三角形面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．