Question

已知x≥1，試證明（1+

1

x

）^x＜e．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)f（t）=ln（1+t）-t，（t＞0），求出導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，得到ln（1+t）＜t，令t=

1

x

，再整理變形，即可得證．

解答： 證明：構(gòu)造函數(shù)f（t）=ln（1+t）-t，（t＞0），
則f′（t）=

1

1+t

-1=

-t

1+t

＜0，
即有f（t）在（0，+∞）上遞減，
則f（t）＜f（0）=0，
即有l(wèi)n（1+t）＜t，
令t=

1

x

，
由于x≥1，則0＜t≤1，
即有l(wèi)n（1+

1

x

）＜

1

x

，
即有xln（1+

1

x

）＜1，
則有（1+

1

x

）^x＜e．

點評：本題考查不等式的證明，考查運用構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，運用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的方法，考查推理能力，屬于中檔題．