Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

（a+

1

a

）x²+x（a∈R，a≠0）．
（1）若a＞0，則a為何值時，f（x）在點（1，f（1））處切線斜率最大？并求該切線方程；
（2）當a=2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（k-

3

4

，k+

3

4

）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）若f（x）的圖象不經(jīng)過第四象限，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數(shù)，可得f′(x)=x2-(a+

1

a

)x+1，利用基本不等式，可知a=1時，f（x）在點（1，f（1））處切線斜率最大，從而可求切線方程；
（2）當a=2時，f（x）=

1

3

x³-

5

4

x²+x，求導函數(shù)f′(x)=x2-

5

2

x+1=(x-

1

2

)(x-2)，從而可知x＜

1

2

或x＞2時，函數(shù)單調(diào)遞增，

1

2

＜x＜2時函數(shù)單調(diào)遞減，要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（k-

3

4

，k+

3

4

）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則

k- 3 4 ＜ 1 2 1 2 ＜k+ 3 4 ＜2

或

k+ 3 4 ＞2 1 2 ＜k- 3 4 ＜2

，從而可求實數(shù)k的取值范圍；
（3）f（x）的圖象不經(jīng)過第四象限，即f（x）≥0在x∈[0，+∞）恒成立．分類討論：①當a＜0時，f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，符合題意；②當a＞0時，f（x）_min=min{f（0），f（a），f（

1

a

）}≥0即可，從而可求a的取值范圍．

解答：解：（1）求導函數(shù)，可得f′(x)=x2-(a+

1

a

)x+1
∵a＞0，∴a+

1

a

≥2
∴f′(1)=2-(a+

1

a

)≤0，當且僅當a=1時，等號成立
即當a=1時，f（x）在點（1，f（1））處切線斜率最大，該切線方程為y=

1

3

；
（2）當a=2時，f（x）=

1

3

x³-

5

4

x²+x
f′(x)=x2-

5

2

x+1=(x-

1

2

)(x-2)
令f′（x）＞0，可得x＜

1

2

或x＞2，此時函數(shù)單調(diào)遞增；
令f′（x）＜0，可得

1

2

＜x＜2，此時函數(shù)單調(diào)遞減；
要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（k-

3

4

，k+

3

4

）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則

k- 3 4 ＜ 1 2 1 2 ＜k+ 3 4 ＜2

或

k+ 3 4 ＞2 1 2 ＜k- 3 4 ＜2

∴-

1

4

＜k＜

5

4

或

5

4

＜k＜

11

4

（3）f（x）的圖象不經(jīng)過第四象限，即f（x）≥0在x∈[0，+∞）恒成立．
令f′（x）=0得x₁=a，x₂=

1

a

．
①當a＜0時，f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，符合題意；
②當a＞0時，∵x∈[0，+∞），
∴f（x）_min=min{f（0），f（a），f（

1

a

）}，
∵f（0）=0，∴

f(a)≥0 f( 1 a )≥0

得

3

3

≤a≤

3

，
綜上所得，a的取值范圍是a＜0或

3

3

≤a≤

3

．（13分）

點評：本題重點考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，同時考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．