Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x²-3x，g（x）=ax²-3x+b，（a，b∈R，且a≠0，b≠0）．滿足f（x）與g（x）的圖象在x=x處有相同的切線l．
（I）若a=，求切線l的方程；
（II）已知m＜x＜n，記切線l的方程為：y=k（x），當(dāng)x∈（m，n）且x≠x時(shí)，總有[f（x）-k（x）]•[g（x）-k（x）]＞0，則稱f（x）與g（x）在區(qū)間（m，n）上“內(nèi)切”，若f（x）與g（x）在區(qū)間（-3，5）上“內(nèi)切”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解
（2）根據(jù)題目的定義，由函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（-3，5）上內(nèi)切，可轉(zhuǎn)化為f（x）-k（x）＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問(wèn)題即可求解
解答：解（I）當(dāng)a=時(shí)，f′（x）=x²-2x-3，g′（x）=2ax-3=x-3
由f（x）與g（x）的圖象在x=x處有相同的切線l可得，=x-3
∴x=0或x=3（3分）
當(dāng)x=0時(shí)，y=0，此時(shí)b=0，切線的斜率k=-3，直線方程為y=-3x不是曲線的公共切線，（舍去）
當(dāng)x=3時(shí)，y=-9，此時(shí)b=，切線的斜率k=0，切線方程y=-9
∴所求的切線方程為y=-9（6分）
（II）∵a＞0，k（x）=g′（x）（x-x）+g（x）
∴g（x）-k（x）=g（x）-g′（x）（x-x）-g（x）=a（9分）
∵f（x）與g（x）在區(qū)間（-3，5）上“內(nèi)切”，
∴f（x）-k（x）＞0
∴f（x）-k（x）=f（x）-f′（x）（x-x）-f（x）
=（x+2x-3）=（x-2a-2）²（x+4a+1）＞0（12分）
∴x＞-4a-1對(duì)任意x∈（-3，5）恒成立，則-4a-1≤-3
∴
∵-3＜2a+2＜5
∴（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，及函數(shù)的恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化的應(yīng)用，還考查了一定的計(jì)算能力