Question

在銳角△ABC中，角A，B，C，所對的邊為a，b，c，已知角A，B，C成等差數列．
（1）若△ABC的面積為，且sin²A+sin²C=，求a，b，c的值．
（2）求sin²A+sin²C的取值范圍．

Answer 1

解：（1）若銳角△ABC的角A，B，C成等差數列，∴B=．
再由△ABC的面積為可得 =，∴ac=6．
由sin²A+sin²C=，可得 a²+c²=b² ①．
再由 b²=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-6 可得 a²+c²=13 ②，
由①②可得 b²=7，即 b=．
由ac=6 和 a²+c²=1可得 a=2、c=3，或 a=3、c=2．
綜上可得，a=2、b=、c=3，或 a=3、b=、c=2．
（2）由銳角△ABC中，B= 可得A+C=，∴A∈（，），
sin²A+sin²C=+=1--=+1．
由A∈（，），可得 2A-∈（，），∴＜sin（2A-）≤1，
∴＜+1≤，即 sin²A+sin²C的取值范圍為（，]．
分析：（1）由題中的條件求出B=，ac=6，由正弦定理求得a²+c²=b²，再由余弦定理求得a²+c²=13，由此可得a、b、c的值．
（2）由條件可得A∈（，），化簡sin²A+sin²C 為+1，求出2A-的范圍，可得sin（2A-）的范圍，從而求得sin²A+sin²C 的范圍．
點評：本題主要考查兩角和差的正弦、余弦公式的應用，正弦定理、余弦定理，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．