已知函數(shù)f(x)=ex-a(x-1),x∈R,其中a為實數(shù).
(1)若實數(shù)a>0,求函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的極值.
(2)記函數(shù)g(x)f(2x),設函數(shù)y=g(x)的圖象C與y軸交于P點,曲線C在P點處的切線與兩坐標軸所圍成的圖形的面積為S(a),當a>1時,求S(a)的最小值;
(3)當x∈(0,+∞)時,不等式f(x)+f′(x)+x3-2x2≥0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
解::(1)由f'(x)=e
x-a=0,得x=lna.
①當a∈(0,1]時,f'(x)=e
x-a>1-a≥0(x>0).此時f(x)在(0,+∞)上單調遞增.函數(shù)無極值.
②當a∈(1,+∞)時,lna>0.
x變化時f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x | (0,lna) | lna | (lna,+∞) |
f′(x) | - | 0 | = |
f(x) | 單減 | 極小值 | 單增 |
由此可得,函數(shù)有極小值且f(x)
極小=f(lna)=a-a(lna-1)=2a-alna.
(2)g(x)=f(2x)=e
2x-a(2x-1),g(0)=1+a
切線斜率為k=g'(0)=2-2a,切線方程y-(1+a)=(2-2a)(x-0),
由x=0,y=1+a,由y=0,x=

∴S(a)=

×

=

[(a-1)+

+4]≥2
當且僅當(a-1)
2=4,即a=3時取等號.∴當a=3時,S(a)最小值為2.
(3)由已知不等式即為:2e
x+x
3-2x
2≥ax,
∴a≤

令u(x)=

,則u′(x)=

∴x∈(0,1)時,u′(x)<0,x∈(1,+∞)時,u′(x)>0
∴u(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增
∴x=1時,u(x)的最小值為2e-1
∴a≤2e-1.
分析:(1)求出函數(shù)的導數(shù),對a進行討論,分別判斷函數(shù)的單調性,最后根據(jù)a的不同取值得出的結論綜合即可;
(2)g(x)=f(2x)=e
2x-a(2x-1),計算出切線斜率,寫出切線方程y-(1+a)=(2-2a)(x-0),求得在坐標軸上的截距,利用三角形的面積公式得到面積S(a)的表達式,最后利用基本不等式求此函數(shù)的最小值即可;
(3)利用分離參數(shù)法,借助于求函數(shù)的最值,可求實數(shù)a的取值范圍.
點評:本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,考查基本不等式的運用,考查分離參數(shù)法.解答關鍵是要對函數(shù)求導,做題時要注意對a進行討論,最后得出函數(shù)的極值和單調區(qū)間.