Question

函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng) x∈（0，1）時，f(x)=

2x

2x+1

．
（1）求函數(shù)f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，可得f（0）=0；再根據(jù)當(dāng)x∈（0，1）時的表達(dá)式，可得x∈（-1，0）時，
f（x）=-

1

2x+1

，綜上所述即得函數(shù)f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）利用單調(diào)性的定義，令0＜x₁＜x₂＜1，可得f（x₁）-f（x₂）=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，因為2x1-2x2＜0，(2x1+1)•(2x2+1)＞0，所以f（x₁）＜f（x₂）．由此可得，函數(shù)f（x）在（0，1）上的是單調(diào)增函數(shù)．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-0）=-f（0），可得f（0）=0，
當(dāng)x∈（-1，0）時，f（-x）=

2-x

2-x+1

=

1

2x+1

=-f（x），
∴x∈（-1，0）時，f（x）=-

1

2x+1

綜上所述，f(x)=

f(x)= 2x 2x+1        (0＜x＜1) 0                (x=0) f(x)=- 1 2x+1         (-1＜x＜0)

（2）∵當(dāng) x∈（0，1）時，f(x)=

2x

2x+1

．
∴令0＜x₁＜x₂＜1，可得f（x₁）-f（x₂）=

2x1

2x1+1

-

2x2

2x2+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

∵2x1-2x2＜0，(2x1+1)(2x2+1)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，可得f（x₁）＜f（x₂）
由此可得，函數(shù)f（x）在（0，1）上的是單調(diào)增函數(shù)．

點評：本題以含有指數(shù)式的分式函數(shù)為例，考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性等簡單性質(zhì)等知識點，屬于中檔題．