Question

若隨機(jī)變量ξ服從幾何分布，且p（ξ=k）=g（k，p）（0＜p＜1），試寫(xiě)出隨機(jī)變量ξ的期望公式，并給出證明．

Answer 1

證明：如下表
ξ 1 2 3 4 …k …
P p qp q²p q³p …q^k-1p …
則Eξ=p+2qp+3q²p+…+kq^k-1p+…
=p（1+2q+3q²+…+kq^k-1+…）
令T=1+2q+3q²+4q³ …+kq^k-1+（k+1）q^k +…①
則qT=q+2q²+3q³+…+（k-1）q^k-1+kq^k+…②
①-②T-qT=q0+q1+q2+q3+…+qk-1+q^k +…
=
即T== （n→∞）
則Eξ= （n→∞）
∴當(dāng)n→∞時(shí)，Eξ=
分析：根據(jù)變量符合幾何分布，寫(xiě)出各個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率，表示出期望的表達(dá)式，利用數(shù)列中的錯(cuò)位相減得到數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)n是一個(gè)趨近于無(wú)窮的數(shù)字，利用極限的思想得到結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題看出幾何分布的期望值的推導(dǎo)，本題解題的關(guān)鍵是利用數(shù)列的求和的方法來(lái)寫(xiě)出期望的表示式，本題是一個(gè)中檔題目．