Question

設圓C與雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1的漸近線相切，且圓心在雙曲線的右焦點，則圓C的標準方程為（　　）

A．（x+5）²+y²=25

B．（x-5）²+y²=25

C．（x+5）²+y²=16

D．（x-5）²+y²=16

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線的方程算出右焦點為F（5，0），漸近線方程為4x±3y=0．利用點到直線的距離公式算出F到漸近線的距離，得到圓C的半徑，即可寫出所求圓C的標準方程．

解答：解：∵雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1中，a=3，b=4
∴c=

a2+b2

=5，得右焦點為F（5，0）
漸近線方程為y=±

4

3

x，即4x±3y=0
設圓C的標準方程為（x-5）²+y²=r²
由漸近線與圓C相切，得r=

|4×5±3×0|

5

=4
∴圓C的標準方程為（x-5）²+y²=16
故選：D

點評：本題給出以雙曲線的右焦點為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓，求圓的方程．著重考查了圓的標準方程、點到直線的距離公式和雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．