Question

已知函數(shù)f（x）=

2

3

x³-ax²-3x+1（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間（-1，1）上為減函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）討論y=f（x）在（-1，1）內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間（-1，1）上為減函數(shù)，f′（x）≤0在區(qū)間（-1，1）上恒成立，即f′（-1）≤0，f′（1）≤0，即可求a的取值范圍；
（Ⅱ）分類討論．利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得出y=f（x）在（-1，1）內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

2

3

x³-ax²-3x+1，
∴f′（x）=2x²-2ax-3
∵f（x）在區(qū)間（-1，1）上為減函數(shù)，
∴f′（x）≤0在區(qū)間（-1，1）上恒成立，
∴f′（-1）≤0，f′（1）≤0，
∴2+2a-3≤0，2-2a-3≤0，
∴-

1

2

≤a≤

1

2

；
（Ⅱ）當(dāng)a＜-

1

2

時(shí)，f′（-1）＜0，f′（1）＞0
∴在（-1，1）內(nèi)有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)      
當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，f′（-1）＞0，f′（1）＜0
∴在（-1，1）內(nèi)有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)      
當(dāng)-

1

2

≤a≤

1

2

時(shí)，由（Ⅰ）可知在區(qū)間（-1，1）上為減函數(shù)
∴在區(qū)間（-1，1）內(nèi)沒有極值點(diǎn)．
綜上可知，當(dāng)a＜-

1

2

或a＞

1

2

時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（-1，1）內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)-

1

2

≤a≤

1

2

時(shí)，在區(qū)間（-1，1）內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．