Question

已知函數(shù)f（x）=

4x2-7

2-x

，x∈[0，1]，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域；
（2）設a≥1，函數(shù)g（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]，若對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）對函數(shù)f（x）=

4x2-7

2-x

，x∈[0，1]，求導，得
f′（x）=

-4x2+16x-7

(2-x)2

=-

(2x-1)(2x-7)

(2-x)2

，
令f′（x）=0解得x=

1

2

或x=

7

2

．當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表所示：



所以，當x∈（0，

1

2

）時，f（x）是減函數(shù)；當x∈（

1

2

，1）時，f（x）是增函數(shù)．
當x∈[0，1]時，f（x）的值域是[-4，-3]．
（II）對函數(shù)g（x）求導，則g′（x）=3（x²-a²）．
因為a≥1，當x∈（0，1）時，g′（x）＜5（1-a²）≤0，
因此當x∈（0，1）時，g（x）為減函數(shù)，
從而當x∈[0，1]時有g（x）∈[g（1），g（0）]，
又g（1）=1-2a-3a²，g（0）=-2a，
即當x∈[0，1]時有g（x）∈[1-2a-3a²，-2a]，
任給x₁∈[0，1]，f（x₁）∈[-4，-3]，存在x₀∈[0，1]使得g（x₀）=f（x₁），
則[1-2a-3a²，-2a]?[-4，-3]，即

1-2a-3a2≤-4① -2a≥-3②

，
解①式得a≥1或a≤-

5

3

，
解②式得a≤

3

2

，
又a≥1，故a的取值范圍內(nèi)是1≤a≤

3

2

．