Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）的最小值為M，求與曲線y=f（x）相切且斜率為e•M（其中e為常數(shù)）的切線方程．

Answer 1

分析：（I）先求函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得f′（x）=lnx+1分別令f′（x）＞0f′（x）＜0可求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間
（II）由（I）可知函數(shù)x=

1

e

取得最小值，從而可求故M=f（

1

e

），e•M=-1
設(shè)滿足條件的切點(diǎn)為（x₀，y₀），則根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切點(diǎn)坐標(biāo)為（(

1

e2

，

-2

e2

)，進(jìn)一步可得切線方程

解答：解：（I）函數(shù)的定義域?yàn)椋海?，+∞）
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得f′（x）=lnx+1
令f′（x）＞0可得x＞

1

e

f′（x）＜0可得0＜x＜

1

e

則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

1

e

，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，

1

e

）
（II）由（I）可知函數(shù)x=

1

e

取得最小值，故M=f（

1

e

）=-

1

e

，e•M=-1
設(shè)滿足條件的切點(diǎn)為（x₀，y₀），則根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義有l(wèi)nx₀+1=-1即x0=

1

e2

切點(diǎn)坐標(biāo)為（(

1

e2

，

-2

e2

)
切線方程為y+

2

e2

=-(x-

1

e2

)
x+y+

1

e2

=0

點(diǎn)評(píng)：（1）想要求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可先求函數(shù)的定義域，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)進(jìn)行求解，此類問題容易忽略對(duì)定義域的判斷
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)是解決該問題的關(guān)鍵