解:如圖建立空間直角坐標系:設正方體棱長為1
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201306/51d603fbce4b9.png)
則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C
1(0,1,1),D
1(0,0,1),B
1(1,1,1),A
1(1,0,1),C(0,1,0)
(1)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8550.png)
=(0,1,1),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/392.png)
=(-1,0,1),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/230.png)
=(0,1,0)
設平面ABC
1D
1所的法向量為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/686.png)
=(x,y,z)
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8551.png)
.取
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/686.png)
=(1,0,1)
cos<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/686.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8550.png)
>=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8552.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8553.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
設直線AB
1和平面ABC
1D
1所成的角為θ
則sinθ=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,又θ∈[0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/73.png)
]
∴θ=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/198.png)
∴直線AB
1和平面ABC
1D
1所成的角為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/198.png)
(2)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4228.png)
=(-1,1,-1),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8554.png)
=(-1,0,1),
∵BM=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8549.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/755.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8554.png)
=(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
,0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
)
設
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8555.png)
=λ
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8556.png)
=λ(0,-1,-1)=(0,-λ,-λ)
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2737.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1582.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2607.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8555.png)
=(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
,0,-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
)+(0,0,1)+(0,-λ,-λ)=(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
,-λ,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/168.png)
-λ)
∵MN∥A
1C.
∴(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
,-λ,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/168.png)
-λ)=μ(-1,1,-1),∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8557.png)
解得λ=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
∴當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8555.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8556.png)
時,MN∥A
1C.
分析:先以D為原點建立空間直角坐標系,寫出相關點的坐標,(1)先利用線面垂直的判定定理求平面ABC
1D
1的法向量,再求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8550.png)
與此法向量的夾角的余弦值,其絕對值就是線面角的正弦值;
(2)設
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8555.png)
=λ
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8556.png)
,將
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2737.png)
用λ表示,要使MN∥A
1C,只需存在μ,使
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2737.png)
=μ
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4228.png)
,列方程組即可解得λ的值,從而確定N點位置
點評:本題主要考查了空間線面角的求法,空間線線平行的判定,空間直角坐標系與空間向量在解題中的應用,需要有較強的運算能力