Question

已知拋物線(xiàn)C的方程為y²=2x，焦點(diǎn)為F，過(guò)拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的直線(xiàn)為l。
（1）若直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，且|FA|=2|FB|，求k的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P是拋物線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R、N在y軸上，圓（x- 1）²+y²=1內(nèi)切于△PRN，求△PRN面積的最小值。

Answer 1

解：（1）由題意可知，，準(zhǔn)線(xiàn)為
設(shè)直線(xiàn)l為
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由|FA|=2|FB|，得
即
由
得
故
解由①②③構(gòu)成的方程組得x₁=1，
又由Δ=（k²-2）²-k⁴=4-4k²>0，得-1＜k＜1且k≠0，
故所求得的k值適合，
因此所求的k值為。
（2）設(shè)P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b>c，
∴直線(xiàn)PR的方程為（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0
∵圓（x-1）²+y²=1內(nèi)切于△PRN，
∴圓心（1，0）到直線(xiàn)PR的距離為1，
即
化簡(jiǎn)得（x₀-2）b²+ 2y₀b-x₀=0，
同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，
由題意可知x₀>2，
所以b、c為方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根
∴
∴
∴
當(dāng)且僅當(dāng)x₀=4時(shí)取等號(hào)，
所以△PRN面積的最小值為8。