（理科）如圖所示的幾何體底面ABC是直角三角形，∠CAB=90°，AC=4，AB=4，DA，EC，F(xiàn)B均垂直于底面ABC，且CE=3，BF=1，AD=2，點G為棱EF上的一點，且
FG
=λ
FE
（0＜λ≤1）．
（1）求
FG
與
AB
夾角的余弦值；
（2）求
DG
•
GF
的最大值，并指出取得最大值時相應的λ的值．
分析：（1）建立空間直角坐標系，由已知可得點的坐標，進而可得
FE
=(-4，4，2)
AB
=(4，0，0)，由坐標運算可得；（2同理可得向量的坐標，可得
DG
•
GF
的表達式，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．
解答：解：（1）以AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，AD所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（4，0，0），C（0，4，0），D（0，0，2）
F（4，0，1），E（0，4，3），
∴
FE
=(-4，4，2)
AB
=(4，0，0)，
∴cos?
FE
，
AB
＞=
FE
•
AB
|
FE
||
AB
|
=
-16
4
36
=-
2
3
，
∴
FG
與
AB
的夾角的余弦值為-
2
3
（7分）
（2）∵
FG
=λ
FE
=(-4λ，4λ，2λ)，0＜λ≤1，
∴
GF
=(4λ，-4λ，-2λ)（9分）
又 
DG
=
DF
+
FG
=(4，0，-1)+(-4λ，4λ，2λ)=(4-4λ，4λ，-1+2λ)（11分）
∴
DG
•
GF
=-16λ2+16λ-16λ2+2λ-4λ2=-36λ2+18λ（0＜λ≤1）（13分）
由二次函數(shù)的知識可知：當λ=
1
4
時，
DG
•
GF
的最大值是
9
4
．（14分）
點評：本題考查平面向量數(shù)量積與夾角的關系，涉及二次函數(shù)的最值，建立空間直角坐標系是解決問題的關鍵，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點，且AD=PD=2MA．
（Ⅰ）求證：平面EFG⊥平面PDC；
（Ⅱ）求三棱錐P-MAB與四棱錐P-ABCD的體積之比．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•淄博一模）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，P為DN的中點．
（Ⅰ）求證：BD⊥MC；
（Ⅱ）在線段AB是否存在點E，使得AP∥平面NEC，若存在，說明其位置，并加以證明；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：江蘇省徐州市豐縣修遠雙語學校2011-2012學年高二上學期第二次月考數(shù)學試題 題型：044

(理科做)

在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB的中點．建立適當?shù)目臻g直角坐標系，解決下列問題：

(1)求證：CM⊥EM；

(2)求CM與平面CDE所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆江蘇省高二第二次月考數(shù)學試卷 題型：解答題

(本小題滿分16分)（理科做）在如圖所示的幾何體中，平面，平面，，，是的中點．建立適當?shù)目臻g直角坐標系，解決下列問題：

 

 

⑴求證：；

⑵求與平面所成角的大�。�

 

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