Question

橢圓C的左右焦點分別為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），長軸長為10，點A（1，1）是橢圓內一點，點P是橢圓上的動點，則PA+

5

3

PF₂的最小值為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出橢圓的a，b，c，以及離心率e，右準線方程，再由橢圓的第二定義，可得|PF₂|=ed=

3

5

d，則|PA|+

5

3

|PF₂|=|PA|+d，過A作AM垂直于l，垂足為M，則AM的長即為所求．

解答： 解：橢圓C的左右焦點分別為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），長軸長為10，
可得，a=5，c=3，b=4，
則離心率e=

c

a

=

3

5

．右準線l的方程為x=

25

3

，
由橢圓的第二定義，可得，e=

|PF2|

d

（d為P到右準線的距離），
則有|PF₂|=ed=

3

5

d，
則|PA|+

5

3

|PF₂|=|PA|+d，
過A作AM垂直于l，垂足為M，
即有|PA|+d≥|AM|=

25

3

-1=

22

3

．
即有最小值為

22

3

．
故答案為：

22

3

．

點評：本題考查橢圓的定義和性質，考查離心率的運用，以及橢圓的定義的運用：到焦點的距離轉化為到準線的距離，考查運算能力，屬于中檔題．