Question

2．（1）求函數y=$\frac{{\sqrt{x+2}}}{x}$+（x-3）⁰的定義域．
（2）求函數y=2x-$\sqrt{x-1}$的值域．

Answer 1

分析 （1）根據函數解析式有意義，列不等式組求解．
（2）利用換元法求解函數的值域．

解答 解：（1）函數y=$\frac{{\sqrt{x+2}}}{x}$+（x-3）⁰
其定義域需滿足：$\left\{\begin{array}{l}{x+2≥0}\\{x≠0}\\{x-3≠0}\end{array}\right.$．
解得：x≥-2且x≠0，x≠3．
∴函數y=$\frac{{\sqrt{x+2}}}{x}$+（x-3）⁰的定義域為{x|x≥-2且x≠0，x≠3}．
（2）函數y=2x-$\sqrt{x-1}$，
令t=$\sqrt{x-1}$，（t≥0），那么x=t²+1．
則函數y=2x-$\sqrt{x-1}$轉化為f（t）=2（t²+1）-t．
整理得：f（t）=2t²-t+2．（t≥0）
根據二次函數的性質可知：
開口向上，對稱軸t=$\frac{1}{4}$，
當t=$\frac{1}{4}$時，函數f（t）取得最小值為$\frac{15}{8}$．
∴函數y=2x-$\sqrt{x-1}$的值域為[$\frac{15}{8}$，+∞）．

點評 本題考查了函數定義域求法就是列出函數解析式有意義的不等式組；考查了函數的值域的求法．高中函數值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數法，4、判別式法；5、換元法，6、數形結合法，7、不等式法，8、分離常數法，9、單調性法，10、利用導數求函數的值域，11、最值法，12、構造法，13、比例法．要根據題意選擇．