Question

現(xiàn)有一組互不相同的從小到大排列的數(shù)據(jù)：a₀，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，其中a₀=0．為提取反映數(shù)據(jù)間差異程度的某種指標(biāo)，今對(duì)其進(jìn)行如下加工：記T=a0+a1+…+a5，xn=

n

5

，yn=

1

T

(a0+a1+…+an)，作函數(shù)y=f（x），使其圖象為逐點(diǎn)依次連接點(diǎn)P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，…，5）的折線．
（I）求f（0）和f（1）的值；
（II）設(shè)P_n-1P_n的斜率為k_n（n=1，2，3，4，5），判斷k₁，k₂，k₃，k₄，k₅的大小關(guān)系；
（III）證明：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜x．

Answer 1

分析：（I）直接根據(jù)定義即可得到f（0）和f（1）的值；
（II）先根據(jù)兩點(diǎn)式寫(xiě)出直線的斜率，再根據(jù)a₀，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，是按從小到大的順序排列即可得到結(jié)論；
（III）由于f（x）的圖象是連接各點(diǎn)P_n（x_n，y_n）（n=0，1，…，5）的折線，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明f（x_n）＜x_n（n=1，2，3，4）；再對(duì)f（x）的表達(dá)式進(jìn)行放縮即可得到結(jié)論．

解答：解：（I）解：f（0）=

a0

a0+a1+a2+a3+a4+a5

=0，
f（1）=

a0+…+a5

a0+…+a5

=1．
（II）解：k_n=

yn-yn-1

xn-xn-1

=

5

Tn

an，n=1，2，…，5，
因?yàn)閍₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，
所以k₁＜k₂＜k₃＜k₄＜k₅．
（III）證明：由于f（x）的圖象是連接各點(diǎn)P_n（x_n，y_n）（n=0，1，…，5）的折線，
要證明f（x）＜x（0＜x＜1），只需證明f（x_n）＜x_n（n=1，2，3，4）．
事實(shí)上，當(dāng)x∈（x_n-1，x_n）時(shí)，
f（x）=

f(xn)-f(xn-1)

xn-xn-1

（x-x_n-1）+f（x_n-1）
=

xn-x

xn-xn-1

f（x_n-1）+

x-xn-1

xn-xn-1

f（x_n）
＜

xn-x

xn-xn-1

xn-1+

x-xn-1

xn-xn-1

xn=x．
下面證明f（x_n）＜x_n．
對(duì)任何n（n=1，2，3，4），
5（a₁+…+a_n）=[n+（5-n）]（a₁+…+a_n）
=n（a₁+…+a_n）+（5-n）（a₁+…+a_n）
≤n（a₁+…+a_n）+（5-n）na_n=n[a₁+…+a_n+（5-n）a_n]
＜n（a₁+…+a_n+a_n+1+…+a₅）=nT．
所以f（x_n）=

a1+…+an

T

＜

n

5

=x_n．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)知識(shí)、斜率公式、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，結(jié)合已知采用分析法將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化到能夠解決的范圍內(nèi)．