Question

一個幾何體的三視圖及部分度量值如圖所示，其中，正視圖與側(cè)視圖都是由一個正方形和一個等腰三角形組成，俯視圖是一個圓．
（1）判斷該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并求其表面積；
（2）如果正視圖中的點P是其所在線段的中點，點Q是其所在正方形的頂點，試求：在原幾何體的側(cè)面上，從P點到Q點的最短路徑的長．

Answer 1

考點：多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題,由三視圖求面積、體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由三視圖知：該幾何體是一個圓錐加上一個同底圓柱，分別求出圓錐、圓柱的高和底面半徑，代入表面積公式，可得答案；
（2）沿P點所在母線和Q點所在母線剪開圓柱，展開得圓柱的半個側(cè)面，利用勾股定理可得從P點到Q點的最短路徑的長．

解答： 解：（1）由三視圖知：該幾何體是一個圓錐加上一個同底圓柱，
且圓錐、圓柱的高分別為a，2a，底面半徑為a，…（3分）
所以此幾何體表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個底面積之和，
∴S=

1

2

×(2πa)×

2

a+(2πa)×2a+4πa2=(

2

+5)πa2，…（8分）
（2）沿P點所在母線和Q點所在母線剪開圓柱，展開得圓柱的半個側(cè)面，
如圖所示，
，
則PQ=

AP2+AQ2

=

a2+(πa)2

=

1+π2

a，
∴在原幾何體的側(cè)面上，從P點到Q點的最短路徑的長為

1+π2

a．…（12分）

點評：本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，由三視圖求面積，體積，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．