已知橢圓的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B．過F、B、C作⊙P，其中圓心P的坐標為（m，n）．
（1）當m+n＞0時，求橢圓離心率的范圍；
（2）直線AB與⊙P能否相切？證明你的結論．
【答案】分析：（1）先求F、B、C的坐標，求直線FC、BC的中垂線方程，解出P的坐標，m+n＞0，得到a、b、c關系，求出e的范圍．
（2）直線AB與⊙P能相切，則切點為B，求出AB和PB的斜率，如果垂直，斜率之積為-1，判斷即可．
解答：解：（1）設F、B、C的坐標分別為（-c，0），（0，b），（1，0），則FC、BC的中垂線分別為 x=，
y-．聯(lián)列方程組，
解出
∴，
即b-bc+b2-c＞0，即（1+b）（b-c）＞0，
∴b＞c．
從而b2＞c2即有a2＞2c2，
∴．又 e＞0，
∴．
（2）直線AB與⊙P不能相切．由kAB=b，．
如果直線AB與⊙P相切，則  b•=-1．
解出c=0或2，與0＜c＜1矛盾，
所以直線AB與⊙P不能相切．
點評：本題考查橢圓的性質(zhì)，直線與圓的位置關系等知識，難度較大，容易出錯．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）  已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點。

       （I）求過點O、F，并且與橢圓的左準線相切的圓的方程；

       （II）設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源：2006年福建省高考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點．
（I）求過點O、F，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程；
（II）設過點F的直線交橢圓于A、B兩點，并且線段AB的中點在直線x+y=0上，求直線AB的方程．

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如圖，已知橢圓的左焦點為F，過點F的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的中點為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D、E兩點．

（Ⅰ）若點G的橫坐標為，求直線AB的斜率；

（Ⅱ）記△GFD的面積為S1，△OED（O為原點）的面積為S2．

試問：是否存在直線AB，使得S1=S2？說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：江蘇南通市通州區(qū)2010高三查漏補缺專項練習數(shù)學理 題型：解答題

（本小題滿分15分）已知橢圓的左焦點為F，左右頂點分別為A、C，

上頂點為B，過F,B,C三點作，其中圓心P的坐標為．

(1) 若橢圓的離心率，求的方程；

（2）若的圓心在直線上，求橢圓的方程．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011年黑龍江省高二上學期期末考試數(shù)學理卷 題型：填空題

已知橢圓的左焦點為F，右頂點為A，點B在橢圓上，且軸，直線AB交軸于點P。若，則橢圓的離心率為　　　　　

 

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