Question

如圖，拋物線的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上．
過(guò)點(diǎn)M（0，-2）作直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足．
（Ⅰ）求直線l和拋物線的方程；
（Ⅱ）當(dāng)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△ABP面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意設(shè)出直線和拋物線的方程，聯(lián)立方程用根與系數(shù)法和向量相等求出p，k的值；
（Ⅱ）由題意AB為定長(zhǎng)，只要AB邊上的高最大，則三角形的面積最大；過(guò)點(diǎn)P的切線與l平行時(shí)，△APB得面積最大，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，再求P點(diǎn)到直線AB的距離和AB的長(zhǎng)，再求出面積．
解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意可設(shè)直線l的方程為y=kx-2，拋物線方程為x²=-2py（p＞0） （2分）
有得x²+2pkx-4p=0 （3分）
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x₁+x₂=-2pk，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=-2pk²-4
∴（4分）
∵，
∴，解得（5分）
故直線l的方程為y=2x-2，拋物線方程為x²=-2y． （6分）
（Ⅱ）據(jù)題意，當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)P的切線與l平行時(shí)，△APB得面積最大（7分）
設(shè)點(diǎn)P（x，y），由y'=-x，故由-x=2得x=-2，則
∴P（-2，-2） （9分）
∴點(diǎn)P到直線l的距離（10分）
由，得x²+4x-4=0 （11分）
∴（12分）
∴△ABP的面積的最大值為（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題為直線與拋物線的綜合問(wèn)題，常用的方法聯(lián)立直線及拋物線的方程，再利用韋達(dá)定理求解，本題還用數(shù)形結(jié)合思想求最大值，考查了運(yùn)算能力和數(shù)形結(jié)合思想．