Question

已知三次函數(shù)f（x）=x³-3x²-9x+a的圖象為曲線C，則下列說(shuō)法中正確的是

 

．
①f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上遞增；
②若f（x）至少有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為[-5，27]；
③對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，3]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤32；
④曲線C的對(duì)稱中心為（1，f（1））；
⑤曲線C上不存在點(diǎn)M，使得C在點(diǎn)M處的切線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：①，f′（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1），當(dāng)x≤-1或x≥3時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在（-∞，-1]，[3，+∞）上單調(diào)遞增，可判斷①；
②，若f（x）至少有兩個(gè)零點(diǎn)，則

f(-1)≥0 f(3)≤0

，可求得a的取值范圍，可判斷②；
③，依題意，知|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（-1）-f（3）|=|（5+a）-（a-27）|=32，可判斷③；
④，f″（x）=6x-6，由f″（x）=0得：x=1，可判斷④．
⑤，作出曲線C的圖象，可判斷⑤．

解答： 解：對(duì)于①，∵f（x）=x³-3x²-9x+a，
∴f′（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1），
當(dāng)x≤-1或x≥3時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在（-∞，-1]，[3，+∞）上單調(diào)遞增，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，由①知，當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極大值f（-1）=5+a，當(dāng)x=3時(shí)，f（x）取得極小值f（3）=a-27，
若f（x）至少有兩個(gè)零點(diǎn)，則

f(-1)≥0 f(3)≤0

，解得-5≤a≤27，故②正確；
對(duì)于③，∵f（x）在[-1，3]上單調(diào)遞減，
∴對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，3]，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（-1）-f（3）|=|（5+a）-（a-27）=32|，故③正確；
對(duì)于④，∵f′（x）=3x²-6x-9，
∴f″（x）=6x-6，由f″（x）=0得：x=1，
∴曲線C的對(duì)稱中心為（1，f（1）），故④正確；
對(duì)于⑤，如圖，設(shè)M（x₀，y₀）為曲線C上任意一點(diǎn)，y′|x=x0=3x₀²-6x₀-9，即過(guò)點(diǎn)M的切線的斜率k=3x₀²-6x₀-9，
∴過(guò)點(diǎn)M的切線方程為：y-y₀=（3x₀²-6x₀-9）（x-x₀），與y=x³-3x²-9x+a聯(lián)立得：
x³-3x²-（3x₀²-6x₀）x+3x₀³-6x₀²-9x₀+a=0，
顯然，該切線除過(guò)M（x₀，y₀）點(diǎn)外，也經(jīng)過(guò)（0，0）；
若M的坐標(biāo)為（0，0），則過(guò)點(diǎn)M的切線的斜率k=-9，過(guò)點(diǎn)M的切線方程為：y=-9x，與y=x³-3x²-9x+a聯(lián)立得x³-3x²+a=0，
當(dāng)a=0時(shí)，x=3或x=0，滿足題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，也滿足題意，綜上所述，曲線C上不存在點(diǎn)M，使得C在點(diǎn)M處的切線與C恰有一個(gè)公共點(diǎn)，故⑤正確．
故答案為：②③④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，突出考查利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值、函數(shù)的零點(diǎn)、曲線的對(duì)稱中心，考查作圖能力，屬于難題．