Question

動(dòng)點(diǎn)P為橢圓上異于橢圓頂點(diǎn)（±a，0）的一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，動(dòng)圓C與線段F₁P、F₁F₂的延長(zhǎng)線及線段PF₂相切，則圓心C的軌跡為除去坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的（ ）
A．一條直線
B．雙曲線的右支
C．拋物線
D．橢圓

Answer 1

【答案】分析：畫(huà)出圓M，切點(diǎn)分別為E、D、G，由切線長(zhǎng)相等定理知F₁G=F₁E，PD=PE，F(xiàn)₂D=F₂G，根據(jù)橢圓的定義知PF₁+PF₂=2a，PF₁+PF₂=F₁E+DF₂（PD=PE）=F₁G+F₂D（F₁G=F₁E）=F₁G+F₂G=2a，由此入手知M點(diǎn)的軌跡是垂直于x軸的一條直線（除去A點(diǎn)）．
解答：解：如圖畫(huà)出圓M，切點(diǎn)分別為E、D、G，
由切線長(zhǎng)相等定理知
F₁G=F₁E，PD=PE，F(xiàn)₂D=F₂G，
根據(jù)橢圓的定義知PF₁+PF₂=2a，
∴PF₁+PF₂=F₁E+DF₂（PD=PE）
=F₁G+F₂D（F₁G=F₁E）
=F₁G+F₂G=2a，
∴2F₂G=2a-2c，F(xiàn)₂G=a-c，
即點(diǎn)G與點(diǎn)A重合，
∴點(diǎn)M在x軸上的射影是長(zhǎng)軸端點(diǎn)A，
M點(diǎn)的軌跡是垂直于x軸的一條直線（除去A點(diǎn)）；
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．