Question

已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的等邊三角形，SC為球O的直徑，若三棱錐S-ABC的體積為

2

6

，則球O的表面積是（　　）

• A、4π
• B、

  3

  4

  π
• C、3π
• D、

  4

  3

  π

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)題意作出圖形，欲求球O的表面積，只須求球的半徑r．利用截面圓的性質(zhì)即可求出OO₁，進(jìn)而求出底面ABC上的高SD，即可計算出三棱錐的體積，從而建立關(guān)于r的方程，即可求出r，從而解決問題．

解答： 解：根據(jù)題意作出圖形：
設(shè)球心為O，球的半徑r．過ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O₁，則OO₁⊥平面ABC，
延長CO₁交球于點(diǎn)D，則SD⊥平面ABC．
∵CO₁=

2

3

×

3

2

=

3

3

，
∴OO₁=

r2- 1 3

，
∴高SD=2OO₁=2

r2- 1 3

，
∵△ABC是邊長為1的正三角形，
∴S_△ABC=

3

4

，
∴V_{三棱錐S-ABC}=

1

3

×

3

4

×2

r2- 1 3

=

2

6

，
∴r=1．則球O的表面積為4π
故選A．

點(diǎn)評：本題考查棱錐的體積，考查球內(nèi)接多面體，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)S到面ABC的距離．