Question

（2011•甘肅模擬）已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長(zhǎng)AB=2BB₁，則異面直線AB₁與BC所成的角的余弦值是（　�。�

• A．

  3

  5

• B．

  5

  5

• C．

  2

  3

• D．

  6

  3

Answer 1

分析：由正三棱柱的性質(zhì)，可得異面直線AB₁與BC所成的角為∠AB₁C₁或其補(bǔ)角，設(shè)B₁C₁=2，則 BB₁ =1，△AB₁C₁ 中，由余弦定理可得cos∠AB₁C₁=

5

5

，從而得到異面直線AB₁與BC所成的角的余弦值．

解答：解：正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長(zhǎng)AB=2BB₁，則異面直線AB₁與BC所成的角為∠AB₁C₁或其補(bǔ)角，
△AB₁C₁ 中，設(shè)B₁C₁=2，則 BB₁ =1，AC₁=

AC2+CC12

=

4+1

=

5

=AB₁，
△AB₁C₁ 中，由余弦定理可得 AC₁²=AB₁²+B₁C₁²-2AB₁•B₁C₁cos∠AB₁C₁，
即 5=5+4-2×

5

×2cos∠AB₁C₁，∴cos∠AB₁C₁=

5

5

，
故異面直線AB₁與BC所成的角的余弦值是

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正三棱柱的性質(zhì)，異面直線所成的角的定義和求法，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．