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已知圓是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點；若存在，求出直線l的方程：若不存在，說明理由．

答案：略
解析：

解：將圓的一般式配方，得

設弦AB的中點為M，連結CM，如圖所示．

則

連結CA，CM，則△CMA為直角三角形．

假設直線l存在，設其方程為y=x＋b，

則圓心到它的距離

∴

把y=x＋b代入圓的方程并整理得

設

則∴

∴

∴

根據題意，有即

兩邊平方整理得解得b=1或b=－4．

∴存在直線y=x－4或y=x＋1，滿足題目的要求．


提示：

這是一個直線和圓的綜合問題，若存在AB為直徑的圓經過坐標原點，則原點到弦AB中點的距離等于弦AB長度的一半，據此便可建立關系式求解．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓心為C的圓經過點A（-3，0）和點B（1，0）兩點，且圓心C在直線y=x+1上．
（1）求圓C的標準方程．
（2）已知線段MN的端點M的坐標（3，4），另一端點N在圓C上運動，求線段MN的中點G的軌跡方程；
（3）是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦PQ，且以PQ為直徑的圓經過坐標原點？若存在求出直線l的方程，若不存在說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓系方程x2+y2+2kx+（4k+10）y+5k2+20k=0（k∈R），是否存在斜率為2的直線l被圓系方程表示的任意一圓截得的弦長是定值4
5
？如果存在，試求直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0，
（Ⅰ）求過點P(3，
5
-2)且與圓C相切的直線；
（Ⅱ）是否存在斜率為1的直線m，使得以m被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點？若存在，求出直線m的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：數學教研室 題型：044

已知圓是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點；若存在，求出直線l的方程：若不存在，說明理由．

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