Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且∠BFE=∠C．
（1）求證：△ABF∽△EAD．
（2）若AB=4，∠1=30°，AD=3，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）欲證：△ABF∽△EAD，根據(jù)相似三角形的判定，只須證明它們的兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等即可，由平行可得∠1=∠2，再根據(jù)：“∠BFE=∠C”結(jié)合平角相等，再證得：∠BFA=∠ADE即可；
（2）在Rt△ABE中，利用已恬角：∠1=30°，再由正弦定理得即可求得BF的長(zhǎng)．

解答：解：（1）證明：∵AB∥CD，∴∠1=∠2，
又∵∠BFE=∠C，∠BFE+∠BFA=∠C+∠EDA
∴∠BFA=∠ADE，∴△ABF∽△EAD．
（2）在Rt△ABE中，∠1=30°，
由正弦定理得：

AE

sin90°

=

AB

sin60°

，
∴AE=

4

sin60°

=

8 3

3

，
又

BF

AD

=

AB

AE

，∴BF=

AB

AE

•AD=

3 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查相似三角形的判定、正弦定理的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．