己知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，不等式所表示的平面區(qū)域的面積為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的左項點為A，上頂點為B，圓M過A、B兩點．當圓心M與原點O的距離最小時，求圓M的方程．
【答案】分析：（1）利用橢圓C的離心率為，可得a=b，根據(jù)不等式所表示的平面區(qū)域的面積為，可得，由此可求得a，b的值，從而可得橢圓C的方程；
（2）確定AB的垂直平分線L的方程，當圓心M與原點O的距離最小時，OM⊥L，可得OM的方程，聯(lián)立可得M的坐標與圓的半徑，從而可得圓M的方程．
解答：解：（1）∵橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，∴
∴a=b①
根據(jù)對稱性，可得不等式所表示的平面區(qū)域是橢圓C的四個頂點為頂點的菱形
∵不等式所表示的平面區(qū)域的面積為．
∴②
由①②解得a=4，b=2
∴橢圓C的方程為；
（2）由題意，A（-4，0），B（0，2），可得AB的垂直平分線L的方程為：=0
點M在L上，當圓心M與原點O的距離最小時，OM⊥L，可得OM的方程為：
解方程組得x=-，y=-
∴M（），此時
∴圓M的方程為．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查圓的方程，確定圓的圓心與半徑是關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

己知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，A1、A2是橢圓的左右頂點，B1、B2是橢圓的上下頂點，四邊形A1B1A2B2的面積為16
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）圓M過A1、B1兩點．當圓心M與原點O的距離最小時，求圓M的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•自貢三模）己知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為e=
3
3
，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切，A，B分別是橢圓的左右兩個頂點，P為橢圓C上的動點．
（I）求橢圓的標準方程；
（II） M為過P且垂直于x軸的直線上的點，若
|OP|
|OM|
=λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•梅州二模）己知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，不等式
|x|
a
+
|y|
b
≤1所表示的平面區(qū)域的面積為16
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的左項點為A，上頂點為B，圓M過A、B兩點．當圓心M與原點O的距離最小時，求圓M的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•梅州二模）己知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，不等式
|x|
a
+
|y|
b
≤1所表示的平面區(qū)域的面積為16
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C上是否存在兩個不同的點P，Q，使P，Q關(guān)于直線y=4x+m對稱？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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