Question

某市電力部門在抗雪救災的某項重建工程中，需要在A、B兩地之間架設高壓電線，因地理條件限制，不能直接測量A、B兩地距離．現(xiàn)測量人員在相距

3

 km的C、D兩地（假設A、B、C、D在同一平面上），測得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（如圖），假如考慮到電線的自然下垂和施工損耗等原因，實際所須電線長度大約應該是A、B距離的

4

3

倍，問施工單位至少應該準備多長的電線？

Answer 1

分析：利用△ACD的邊角關系得出AC，在△BCD中，由正弦定理即可得出BC，在△ACB中利用余弦定理即可得出AB．即可得到準備的電線長度．

解答：（本小題滿分13分）
解：在△ACD中，由已知可得，∠CAD=30°，
所以，AC=

3

 km，…．（2分）
在△BCD中，由已知可得，∠CBD=60°，
sin75°=sin（45°+30°）=

6 + 2

4

，…．（4分）
由正弦定理，BC=

3 sin75°

sin60°

=

6 + 2

2

，…（6分）
cos75°=cos（45°+30°）=

6 - 2

4

，…..（8分）
在△ABC中，由余弦定理AB²=AC²+BC²-2ACBC•cos∠BCA
=（

3

）²+(

6 + 2

2

)2-2

3

•

6 + 2

2

•cos75°=5，…．（11分）
所以，AB=

5

，施工單位應該準備電線長

4

3

5

．
即施工單位應該準備電線長

4

3

5

 km．…．（13分）

點評：本題給出實際問題，求河對岸兩點A、B間的距離，著重考查了利用正余弦定理解三角形及其實際應用等知識，屬于中檔題．