Question

已知f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是

3

．

Answer 1

分析：法一：先利用導函數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，再讓[1，+∞）是所求區(qū)間的子集可得結(jié)論．
法二：由題意a＞0，函數(shù)f（x）=x³-ax，首先求出函數(shù)的導數(shù)，然后根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系進行判斷．

解答：解：法一∵f（x）=x³-ax，∴f′（x）=3x²-a=3（x-

a 3

）（x+

a 3

）
∴f（x）=x³-ax在（-∞，-

a 3

），（

a 3

，+∞）上單調(diào)遞增，
∵函數(shù)f（x）=x³-ax在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴

a 3

≤1⇒a≤3
∴a的最大值為 3
法二：由法一得f′（x）=3x²-a，
∵函數(shù)f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴在[1，+∞）上，f′（x）≥0恒成立，
即a≤3x²在[1，+∞）上恒成立，
∴a≤3，
故答案為：3．

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、函數(shù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．