考點:數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式,等比數(shù)列的通項公式,數(shù)列與不等式的綜合
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(Ⅰ)由已知條件推導(dǎo)出{a
n}是首項為a,公比為a的等比數(shù)列,由此能求出{a
n}的通項公式.
(Ⅱ)由a=
,得a
n=
()n,
bn =2-(
-
)>2-(
-),由此利用裂項求和法能證明T
n>2n-.
解答:
(Ⅰ)解:∵S
n=
(a
n-1),
∴n=1時,
S1=a1=(a1-1),解得
a1 =a.…(2分)
當n≥2時,有a
n=S
n-S
n-1=
an-an-1,
解得
=a,…(4分)
∴{a
n}是首項為a,公比為a的等比數(shù)列.…(5分)
∴
an=a•an-1=an.…(6分)
(Ⅱ)證明:∵a=
,∴a
n=
()n,…(7分)
∴
bn =
+=
+
=
+=1-
+1+
=2-(
-
),…(9分)
由
<,
>,
得
-<-,…(11分)
∴
bn=2-(-)>2-(
-),…(12分)
∴
Tn =b
1+b
2+…+b
n>[2-(
-)]+[2-(
-)]+…+[2-(
-)]
=2n-[(
-)+(
-)+…+(
-)]
=2n-(
-)>2n-
.
即T
n>2n-.…(14分)
點評:本題考查數(shù)列的通項公式的求法,考查不等式的證明,解題時要認真審題,注意裂項求和法的合理運用.