Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為 ．
（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），

∴消去參數(shù)t得直線l的普通方程為y=3x﹣6，

∵曲線C的極坐標(biāo)方程為 ，

∴ρtanθsinθ=8，即ρsin2θ=8cosθ，

∴ρ2sin2θ=8ρcosθ，

∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=8x

（2）解：∵拋物線y2=8x的焦點(diǎn)是F（2，0），且直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，

設(shè)直線l與曲線C交于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，得9x2﹣44x+36=0，

∴ ，

∴|AB|= ，

∴直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為

【解析】（1）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，能求出直線l的普通方程；曲線C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρ2sin2θ=8ρcosθ，由此能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．（2）拋物線y2=8x的焦點(diǎn)是F（2，0），且直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，由 ，得9x2﹣44x+36=0，利用韋達(dá)定理和焦點(diǎn)弦公式能求出直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)．