Question

已知{a_n}是遞減等比數(shù)列，a₂=2，a₁+a₃=5，則a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*）的取值范圍是

1. A.
   [12，16）
2. B.
   [8，16）
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：先根據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)可知（a₂）²=a₁•a₃=4，進(jìn)而根據(jù)a₁+a₃=5求得a₁和a₃，進(jìn)而根據(jù)q²=求得q．根據(jù)a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1是數(shù)列{a_na_n+1}的前n項(xiàng)和，且數(shù)列{a_na_n+1}是以8為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．進(jìn)而可得前n項(xiàng)和的表達(dá)式為S_n=（1-），可知S_n＜，由已知{a_n}是遞減等比數(shù)列可知{S_n}的最大項(xiàng)為S₁，進(jìn)而得到答案．
解答：（a₂）²=a₁•a₃=4，a₁+a₃=5，
∴a₁和a₃是方程x²-5x+4=0的兩個(gè)根，解得x=1或4
∵{a_n}是遞減等比數(shù)列，∴a₁＜a₃，
∴a₁=4，a₃=1
∴q²==
∵{a_n}是遞減等比數(shù)列，∴q＞0
∴q=
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=a₁²q+a₁²q³+a₁²q⁵…+a₁²q^2n-1==（1-）＜
∵{a_n}是遞減等比數(shù)列，
∴{S_n}的最大項(xiàng)為S₁=8
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*）的取值范圍是
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．?dāng)?shù)列內(nèi)容高考必考內(nèi)容之一，選擇題主要考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)（尤其是中項(xiàng)公式）、定義，以及前n項(xiàng)和S_n的簡(jiǎn)單應(yīng)用．