Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ﹣2alnx+（a﹣2）x，a∈R．
（1）當a=﹣1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當a＜0時，討論函數(shù)f（x）單調(diào)性；
（3）是否存在實數(shù)a，對任意的m，n∈（0，+∞），且m≠n，有 ＞a恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）當a=﹣1時， ，

．

當0＜x＜1或x＞2時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

當1＜x＜2時，f'（x）＜，f（x）單調(diào)遞減，

所以x=1時， ；

x=2時，f（x）極小值=f（2）=2ln2﹣4．

（2）當a＜0時， = = ，

①當﹣a＞2，即a＜﹣2時，由f'（x）＞0可得0＜x＜2或x＞﹣a，此時f（x）單調(diào)遞增；

由f'（x）＜0可得2＜x＜﹣a，此時f（x）單調(diào)遞減；

②當﹣a=2，即a=﹣2時，f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此時f（x）單調(diào)遞增；

③當﹣a＜2，即﹣2＜a＜0時，由f'（x）＞0可得0＜x＜﹣a或x＞2，此時f（x）單調(diào)遞增；

由f'（x）＜0可得﹣a＜x＜2，此時f（x）單調(diào)遞減．

綜上：當a＜﹣2時，f（x）增區(qū)間為（0，2），（﹣a，+∞），減區(qū)間為（2，﹣a）；

當a=﹣2時，f（x）增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間；

當﹣2＜a＜0時，f（x）增區(qū)間為（0，﹣a），（2，+∞），減區(qū)間為（﹣a，2）．

（3）假設存在實數(shù)a，對任意的m，n∈（0，+∞），且m≠n，有 恒成立，

不妨設m＞n＞0，則由 恒成立可得：f（m）﹣am＞f（n）﹣an恒成立，

令g（x）=f（x）﹣ax，則g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g'（x）≥0恒成立，

即f'（x）﹣a≥0恒成立，

∴ ，即 恒成立，又x＞0，

∴x2﹣2x﹣2a≥0在x＞0時恒成立，

∴ ，

∴當 時，對任意的m，n∈（0，+∞），且m≠n，有 恒成立．

【解析】（1）根據(jù)導數(shù)求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，進而求得函數(shù)的極值；（2）先求得函數(shù)的導數(shù)函數(shù)，再利用導數(shù)函數(shù)的特點對a進行分類，進而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）本題的關鍵是對所給的函數(shù)不等式轉化為求函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增的問題.
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．