Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-（{2m+1}）{x^2}+3m（{m+2}）x+1$，其中m為實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)m=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[-4，4]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把m=-1代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出極值，再求出f（-4）與f（4）的值，比較得答案；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)并因式分解，然后分3m=m+2，3m＞m+2，3m＜m+2三類(lèi)求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)m=-1時(shí)，$f（x）=\frac{1}{3}{x^2}+{x^2}-3x+1$，f'（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1），…（1分）
當(dāng)x＜-3或x＞1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)-3＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；…（2分）
∴當(dāng)x=-3時(shí)，f（x）_極大值=10；當(dāng)x=1時(shí)，$f{（x）_{極小值}}=-\frac{2}{3}$…（3分）
又$f（{-4}）=\frac{23}{3}$，$f（4）=\frac{79}{3}$，…（4分）
∴函數(shù)f（x）在[-4，4]上的最大值為$\frac{79}{3}$，最小值為$-\frac{2}{3}$，…（5分）；
（Ⅱ）f'（x）=x²-2（2m+1）x+3m（m+2）=（x-3m）（x-m-2），…（6分）
當(dāng)3m=m+2，即m=1時(shí)，f'（x）=（x-3）²≥0，∴f（x）單調(diào)遞增；…（7分）
當(dāng)3m＞m+2，即m＞1時(shí)，由f'（x）=（x-3m）（x-m-2）＞0，可得x＜m+2或x＞3m；
∴此時(shí)f（x）的增區(qū)間為（-∞，m+2），（3m，+∞），…（9分）
當(dāng)3m＜m+2，即m＜1時(shí)，由f'（x）=（x-3m）（x-m-2）＞0，可得x＜3m或x＞m+2；
∴此時(shí)f（x）的增區(qū)間為（-∞，3m），（m+2，+∞）．…（11分）
綜上所述：當(dāng)m=1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）；
當(dāng)m＞1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（-∞，m+2），（3m，+∞）；
當(dāng)m＜1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（-∞，3m），（m+2，+∞）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．