Question

如圖是一個三角形數(shù)陣（x≠0，-1），從第二行起每個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和，第k行的第一個數(shù)為a_k（1≤k≤n，n≥2，k、n∈N^*）．
（Ⅰ）寫出a_k關于k的表達式：a_k=f（k）；
（Ⅱ）求第k行中所有數(shù)的和T_k；
（Ⅲ）當x=1時，求數(shù)陣中所有數(shù)的和S_n=T₁+T₂+…+T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）寫出a_k關于k的表達式：a_k=f（k）；通過排布找規(guī)律，歸納得出1，1+x，（1+x）²，再由等比數(shù)列通項公式得出．
（Ⅱ）求第k行中所有數(shù)的和T_k；通過總結第一行，第二行，第三行的數(shù)的規(guī)律，總結歸納出，各行數(shù)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式求得．
（Ⅲ）當x=1時，求數(shù)陣中所有數(shù)的和S_n=T₁+T₂+…+T_n，x=1代入，得到一個數(shù)列的和，利用分組求和與錯位相減法求和可求得．

解答：解：（Ⅰ）由數(shù)陣的排布規(guī)律可知：a₁=1=（1+x）⁰，a₂=（1+x）¹，a₃=1+x+x+x²=（1+x）²，
a₄=（1+x）²+x+2x²+x³=（1+x）²+x（1+x）²=（1+x）³，…
猜想：a_k=（1+x）^k-1（1≤k≤n）．                                   （3分）
（Ⅱ）由數(shù)陣的排布規(guī)律可知：
第1行：1，x，x²，…，x^n-1
第2行：1+x，x（1+x），x²（1+x），…
第3行：（1+x）²，x（1+x）²，x²（1+x）²，…
因為x≠0，-1；所以數(shù)陣中除第n，n-1行外，其余各行均為等比數(shù)列，
且公比為x，又第k行的首項為a_k，項數(shù)為n-k+1，
∴當k≠n，n-1，且x≠1時Tk=

ak(xn-k+1-1)

x-1

=

(1+x)k-1(xn-k+1-1)

x-1

①
當k≠n，n-1，且x=1時，第k行為常數(shù)列，2^k-1，2^k-1，…，2^k-1（共有n-k+1行）
∴T_k=（n-k+1）•2^k-1②
又當k=n時，a_k=a_n=（1+x）^n-1
當x≠1時，①式為T_n=（1+x）^n-1=a_n
當x=1時，②式為T_n=2^n-1=a_n
當k=n-1時，由排布規(guī)律可知，第n-1行兩個數(shù)之和為a_n=（1+x）^n-1
而在①式中，即x≠1時，Tn-1=

(1+x)n-2(x2-1)

x-1

=(1+x)n-1=an
在②式中，即x=1時T_n-1=2•2^n-2=2^n-1=a_n
即當1≤k≤n，n≥2時，都有Tk=

(1+x)k-1(xn-k+1-1) x-1 ，(x≠1) (n-k+1)•2k-1，(x=1)

（9分）
（Ⅲ）當x=1時，T_k=（n-k+1）•2^k-1=n•2^k-1-（k-1）•2^k-1
∴S_n=T₁+T₂+T₃+…+T_n=n（1+2+2²+…+2^n-1）-[1•2+2•2²+…+（n-1）2^n-1]，
在上式中，前面一部分直接用等比數(shù)列求和公式求得和為n（2ⁿ-1），
后一部分可用錯位相減法求得和為（n-2）•2ⁿ+2；
∴S_n=n（2ⁿ-1）-（n-2）•2ⁿ+2=2ⁿ⁺¹-n-2（n≥2）．             （13分）

點評：本題屬于數(shù)列綜合應用題，考查了歸納推理能力，等比數(shù)列通項公式，等比數(shù)列求和公式，及數(shù)列求和的其它方法，靈活性強，計算量大．