已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,右頂點為,設(shè)點.
（1）求該橢圓的標(biāo)準方程；
（2）若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；
（3）過原點的直線交橢圓于點，求面積的最大值。
（1）（2）（3）

試題分析：(1)由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1.
又橢圓的焦點在x軸上, ∴橢圓的標(biāo)準方程為
(2)設(shè)線段PA的中點為M(x,y) ,點P的坐標(biāo)是(x0,y0),
由      得
又點P在橢圓上,得,
∴線段PA中點M的軌跡方程是
(3)當(dāng)直線BC垂直于x軸時,BC=2,因此△ABC的面積S△ABC=1.
當(dāng)直線BC不垂直于x軸時,設(shè)該直線方程為y=kx,代入,
解得B(,),C(－,－),
則,又點A到直線BC的距離d=,
∴△ABC的面積S△ABC=
于是S△ABC=
由≥－1,得S△ABC≤,其中,當(dāng)k=－時,等號成立.
∴S△ABC的最大值是
點評：第二問中求軌跡方程用到的是相關(guān)點法，即設(shè)出所求點坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化到已知條件中的點然后代入已知橢圓方程；第三問需注意討論直線斜率存在不存在兩種情況，其中求最值用到了均值不等式，此題有一定的難度
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

△ABC的兩個頂點坐標(biāo)分別是B(0，6)和C(0，-6)，另兩邊AB、AC的斜率的乘積是-，求頂點A的軌跡方程.?

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

點在直線上，若存在過的直線交拋物線于兩點，且，則稱點為“點”，那么下列結(jié)論中正確的是（   ）
A．直線上的所有點都是“點”B．直線上僅有有限個點是“點”
C．直線上的所有點都不是“點”D．直線上有無窮多個點是“點”

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)雙曲線的焦點為F1、F2，過F1作x軸的垂線與該雙曲線相交，其中一個交點為M，則｜｜＝
A．5B．4C．3D．2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如果方程表示焦點在y軸的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是____________。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方程為 　　      ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

過橢圓左焦點且不垂直于x軸的直線交橢圓于A、B兩點，AB的垂直平分線交x軸于點，則       ；

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上的橢圓過點，且它的離心率.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準方程；
（Ⅱ）與圓相切的直線交橢圓于兩點，若橢圓上一點滿足，求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，左端點為
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的右焦點且斜率為的直線被橢圓截的弦長。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案