Question

研究表明：某商品在近40天內(nèi)，商品的單價f（t）（元）與時間t（天）的一次函數(shù)，這里t∈Z．已知第20天時，該商品的單價為27元，第40天時，該商品的單價為32元．
（1）求出函數(shù)f（t）的解析式；
（2）已知該種商品的銷售量與時間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為g(t)=-

1

3

t+

112

3

(0≤t≤40，t∈Z)．求這種商品在這40天內(nèi)哪一天的銷售額y最高？最高為多少（精確到1元）？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)第20天時，該商品的單價為27元，40天時，該商品的單價為32元，可建立方程組，從而求出實數(shù)a，b的值．
（2）先根據(jù)銷售額=銷售量×商品的單價得到銷售額的函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)的最值，從而求出所求．

解答：解：（1）由題意，設(shè)f（t）=at+b，這里a，b為常數(shù)．
∴

f(20)=27 f(40)=32

，
∴

20a+b=27 40a+b=32

∴a=

1

4

，b=22
所以f（t）=

1

4

t+22
（2）∵該種商品的銷售量與時間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為g(t)=-

1

3

t+

112

3

(0≤t≤40，t∈Z)．
∴銷售額為y=f（t）g（t）=(

1

4

t+22)(-

1

3

t+

112

3

)（0≤t≤40，t∈Z）
y=(

1

4

t+22)(-

1

3

t+

112

3

)=-

1

12

(t-12)2+

112×22

3

+12
∴t=12時，ymax=

112×22

3

+12≈833
答：這種商品在這40天內(nèi)第12天的銷售額最高，最高為833元．

點評：本題的考點是函數(shù)最值的運用，考查函數(shù)模型的構(gòu)建與最值問題，同時考查了計算能力，屬于中檔題．