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（12分）定義在區(qū)間(－1，1)上的函數f (x)滿足：①對任意的x，y∈(－1，1)，都有f (x) + f (y) =; ②當x∈(－1，0)，f (x) > 0.

    （1）求證f (x)為奇函數；

    （2）試解不等式：f (x) + f (x－1) .

 

【答案】

（1）略

（2）不等式的解集為

【解析】解：（1）解：令x = y = 0，則

        f (0) + f (0) =   ∴ f (0) = 0

        令x∈(－1, 1)  ∴－x∈(－1, 1)

        ∴ f (x) + f (－x) = f () = f (0) = 0

        ∴ f (－x) =－f (x)

        ∴ f (x) 在(－1，1)上為奇函數…………………4分

（2）解：令－1< x1 < x2 < 1

        則f (x1) －f (x2) = f (x1) + f (－x2) =

        ∵x1－x2 < 0，1－x1x2 > 0

        ∴  ∴ > 0

        ∴ f (x1) > f (x2)  ∴ f (x) 在(－1，1)上為減函數

        又f (x) + f (x－1) >

        …………………8分

 

        ∴ 不等式化為

    或

    ∴ 不等式的解集為…………………12分

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

定義在區(qū)間[-1，1]上的奇函數f（x）滿足：對任意a，b∈[-1，1]，a+b≠0，都有
f(a)+f(b)a+b
＜0，f（1）=-3．
（1）證明：f（x）在[-1，1]上是減函數；
（2）解不等式：f（x+1）+f（x2-1）＞0；
（3）若不等式f（x）≤m2+2am對任意x，a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m≠n時，有數學公式
（1）若滿足f（x+數學公式）+f（x-1）＜0，求x的取值范圍
（2）若f（x）≤t2-2at+1對任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

20.設y=f（x）是定義在區(qū)間［－1，1］上的函數，且滿足條件：

（ⅰ）f（－1）=f（1）=0;

（ⅱ）對任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|≤|u－v|.

（Ⅰ）證明：對任意的x∈［－1，1］，都有x－1≤f（x）≤1－x;

（Ⅱ）證明：對任意的u,v∈［－1，1］,都有|f（u）－f（v）|≤1；

（Ⅲ）在區(qū)間［－1，1］上是否存在滿足題設條件的函數y=f（x），且使得

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

20.設y=f（x）是定義在區(qū)間［－1，1］上的函數，且滿足條件：

（�。�f（－1）=f（1）=0；

（ⅱ）對任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|≤|u－v|.

（Ⅰ）證明：對任意的x∈［－1，1］，都有x－1≤f（x）≤1－x；

（Ⅱ）判斷函數g（x）=，是否滿足題設條件；

（Ⅲ）在區(qū)間［－1，1］上是否存在滿足題設條件的函數y=f（x），且使得對任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|=|u－v|.

若存在，請舉一例；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源：2013-2014學年安徽省安慶市望江中學高三（上）第一次月考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m≠n時，有
（1）若滿足f（x+）+f（x-1）＜0，求x的取值范圍
（2）若f（x）≤t2-2at+1對任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數t的取值范圍．

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