Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1．
（1）當(dāng)k=1時，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）若函數(shù)f（x）沒有零點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)k=1時，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)習(xí)慣，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f（x）的最大值．
（2）若函數(shù)f（x）沒有零點，分k≤0和k＞0兩種情況，分別求得實數(shù)k的取值范圍，再取并集，即得所求．

解答： 解：（1）當(dāng)k=1時，f（x）=ln（x-1）-（x-1）+1=ln（x-1）-x+2，f′(x)=

2-x

x-1

，
函數(shù)f（x）的定義域為（1，+∞），令f′（x）=0，求得x=2，
∵當(dāng)x∈（1，2）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（2，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，2）內(nèi)是增函數(shù)，在（2，+∞）上是減函數(shù)
∴當(dāng)x=2時，f（x）取最大值f（2）=0．
（2）函數(shù)f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1沒有零點，
即函數(shù)y=ln（x-1）的圖象與函數(shù)y=k（x-1）-1的圖象沒有交點．
①當(dāng)k≤0時，由于函數(shù)y=ln（x-1）圖象與函數(shù)y=k（x-1）-1圖象有公共點，
∴函數(shù)f（x）有零點，不合要求．
②當(dāng)k＞0時，f′(x)=

1

x-1

-k=

1+k-kx

x-1

=-

k(x- 1+k k )

x-1

，
令f′(x)=0，得x=

k+1

k

，∵x∈(1，

k+1

k

)時，f′(x)＞0，x∈(1+

1

k

，+∞)時，f′(x)＜0，
∴f(x)在(1，1+

1

k

)內(nèi)是增函數(shù)，在[1+

1

k

，+∞)上是減函數(shù)，
∴f（x）的最大值是f(1+

1

k

)=-lnk，
∵函數(shù)f（x）沒有零點，∴-lnk＜0，求得k＞1．
綜上可得，實數(shù)k的取值范圍為（1，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)零點與方程的根的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．