Question

（2011•上海）對于給定首項(xiàng)x₀＞

3	a

（a＞0），由遞推公式x_n+1=

1

2

（x_n+

a xn

）（n∈N）得到數(shù)列{x_n}，對于任意的n∈N，都有x_n＞

3	a

，用數(shù)列{x_n}可以計(jì)算

3	a

的近似值．
（1）取x₀=5，a=100，計(jì)算x₁，x₂，x₃的值（精確到0.01）；歸納出x_n，x_n+1，的大小關(guān)系；
（2）當(dāng)n≥1時，證明：x_n-x_n+1＜

1

2

（x_n-1-x_n）；
（3）當(dāng)x₀∈[5，10]時，用數(shù)列{x_n}計(jì)算

3	100

的近似值，要求|x_n-x_n+1|＜10^-4，請你估計(jì)n，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)論，同時可猜想結(jié)論；
（2）作差，利用條件，證明其大于0，即可得到結(jié)論；
（3）由題意，只要

1

2n

(x0-x1)＜10-4，由此可估計(jì)n的值．

解答：（1）解：∵x₀=5，a=100，x_n+1=

1

2

（x_n+

a xn

）
∴x₁=

1

2

（5+

100 5

）≈4.74
同理可得x₂≈4.67，x₃≈4.65
猜想x_n＞x_n+1；
（2）證明：x_n-x_n+1-

1

2

（x_n-1-x_n）=xn-

1

2

a xn

-

1

2

xn-1=

a

2

•

xn - xn-1

xn-1xn

∵xn＞

3	a

；
∴x_n-x_n+1=

1

2

(xn-

a xn

)=

1

2

•

xn3 - a

xn

＞0
∴x_n＞x_n+1
∴xn-xn+1＜

1

2

(xn-1-xn)；
（3）解：由（2）知0＜xn-xn+1＜

1

2

(xn-1-xn)＜…＜

1

2n

(x0-x1)
由題意，只要

1

2n

(x0-x1)＜10-4，即2ⁿ＞10⁴（x₀-x₁）
∵x0-x1=

1

2

(x0-

10

x0

)
∴n＞log2(104•

10- 10

2

)=15.1
∴n=16．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查不等式的證明，考查放縮法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度較大．